Συγγραφέας: Δακουρά Μαρία
Λέξεις Κλειδιά: Δακτύλιοι, Ιδεώδη, Περιοχές, Δακτύλιοι Noether, Δακτύλιοι Artin

Σύνοψη: Οι αντιμεταθετικοί δακτύλιοι έχουν την προέλευσή τους από τη θεωρία αριθμών και από την αλγεβρική γεωμετρία στον 19ο αιώνα. Σήμερα είναι ιδιαίτερα σημαντικοί και έχουν ενδιαφέρουσα επίδραση στην αλγεβρική γεωμετρία και στην θεωρία αριθμών, χρησιμοποιώντας μεθόδους αντιμεταθετικής άλγεβρας. Εδώ περιγράφουμε τις βασικές μεθόδους και κάνουμε τα πρώτα βήματα σε αυτό το θέμα. Στο εξής όλοι οι δακτύλιοι θα είναι αντιμεταθετικοί, εκτός αν θεωρήσουμε κάτι άλλο. Το κεντρικό θέμα της αξιωματικής ανάπτυξης της γραμμικής άλγεβρας είναι ένας διανυσματικός χώρος επί ενός σώματος. Η αξιωματοποίηση της γραμμικής άλγεβρας, η οποία επιτεύχθηκε το 1920, μορφοποιήθηκε σε μια μεγάλη έκταση, από την επιθυμία να εισάγουμε γεωμετρικές έννοιες στη μελέτη συγκεκριμένων κλάσεων των συναρτήσεων στην ανάλυση. Κατ’ αρχάς, ασχοληθήκαμε αποκλειστικά με τους διανυσματικούς χώρους των πραγματικών αριθμών ή των μιγαδικών αριθμών. Η έννοια ενός module είναι μια άμεση γενίκευση ενός διανυσματικού χώρου. Η γενίκευση αυτή επιτυγχάνεται απλά αντικαθιστώντας το σώμα των συντελεστών διά ενός δακτυλίου. Ο ευκολότερος τρόπος για να ορίσουμε ένα module μπορούμε να πούμε ότι είναι ένα αλγεβρικό σύστημα το οποίο ικανοποιεί τα ίδια αξιώματα όπως ένας διανυσματικός χώρος εκτός του ότι οι συντελεστές ανήκουν σ’ ένα δακτύλιο R με μονάδα αντί ενός σώματος F. Αυτή η φαινομενικά σεμνή γενίκευση οδηγεί σε μια αλγεβρική δομή η οποία είναι μεγίστης σημασίας. Ιστορικά ο πρώτος δακτύλιος που μελετήθηκε ήταν ο δακτύλιος ℤ των ακεραίων, ο όρος “δακτύλιος” πρωτοχρησιμοποιήθηκε από τον Hilbert (1897) στο “Zahlbericht” του για έναν δακτύλιο αλγεβρικών ακεραίων. Στο ℤ κάθε δακτύλιος είναι κύριος. Στην πραγματικότητα τα ιδεώδη είχαν πρώτα εισαχθεί (από Kummer) ως “ιδεώδεις αριθμοί” στους δακτυλίους αλγεβρικών ακεραίων οι οποίοι εστερούντο μοναδικής παραγοντοντοποίησης (unique factorization). Στο ℤ μπορούμε από δύο αριθμούς a,b να ορίσουμε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη (ΜΚΔ) αυτών, (a,b), το γινόμενό τους ab και το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) αυτών, [a,b]. Αυτές οι πράξεις αντιστοιχούν σε πράξεις ιδεωδών σε κάθε δακτύλιο.

Αρχείο Διπλωματικής Εργασίας