Συγγραφέας: Ηλιοπούλου Μαρίνα
Λέξεις Κλειδιά: Βιομαγνητικά ρευστά, Επίδραση μαγνητικόυ πεδίου, Βιομαγνητοϋδροδυναμική, Αριθμητικά σχήματα, Αλγόριθμος του Thomas, Μέθοδος ψευδομετάβασης, Μέθοδος line by line

Σύνοψη: Η παρούσα εργασία εκπονήθηκε στο πλαίσιο Διπλωματικής διατριβής του Διατμηματικού Προγράμματος Μεταπτυχιακών Σπουδών «Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων» των Τμημάτων Μαθηματικού και Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής του Πανεπιστημίου Πατρών. Το φυσικό πρόβλημα που μελετάμε είναι η Ροή Βιομαγνητικού Ρευστού σε Ανεύρυσμα υπό την επίδραση Μαγνητικού Πεδίου. Θεωρούμε το αίμα ως μαγνητικό ρευστό και υποθέτουμε πως συμπεριφέρεται ως ένα ηλεκτρικά αγώγιμο, ομογενές και μη ισόθερμο Νευτώνειο μαγνητικό ρευστό που παρουσιάζει παράλληλα ιδιότητες σιδηρομαγνητικού (ferrofluid) ή παραμαγνητικού υλικού. Οι βασικοί στόχοι της μελέτης είναι η παρουσίαση μίας μεθοδολογίας αριθμητικής επίλυσης και η μελέτη της επίδρασης του μαγνητικού πεδίου στην ροή του αίματος στην περιοχή του ανευρύσματος. Το φυσικό πρόβλημα που μελετάμε είναι αυτό που μελετήθηκε στην εργασία Ε. Ε. Tzirtzilakis, Biomagnetic Fluid Flow in an Aneurism Using FerroHydroDynamics Principles, Physics of Fluids, 27, 061902, 2015, με την επιπρόσθετη υιοθέτηση των αρχών της Μαγνητοϋδροδυναμικής λόγω της ηλεκτρικής αγωγιμότητας. Στο πρώτο κεφάλαιο, παραθέτουμε ορισμένες εισαγωγικές έννοιες γενικά περί μαγνητικών ρευστών. Ακόμα αναφερόμαστε στα Βιομαγνητικά Ρευστά και πιο συγκεκριμένα στο αίμα, την σύνδεσή του με τα μαγνητικά ρευστά, τις ροϊκές μαγνητικές ιδιότητες αυτού, καθώς επίσης και διάφορες σχετικές εφαρμογές στην Ιατρική. Στο δεύτερο κεφάλαιο, περιγράφουμε κάποια αριθμητικά εργαλεία τα οποία χρησιμοποιούμε κατά την επίλυση του προβλήματος. Αρχικά παρουσιάζουμε βασικά αριθμητικά σχήματα πεπερασμένων διαφορών με την βοήθεια των οποίων γίνεται η προσέγγιση μερικών παραγώγων. Επιπλέον αναφερόμαστε στα είδη των προβλημάτων όπως αυτά ταξινομούνται με βάση την μορφή διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους που τα διέπουν καθώς και τις αντίστοιχες συνοριακές τους συνθήκες. Στην συνέχεια παρουσιάσουμε την μέθοδο διαδοχικών υπερχαλαρώσεων (Successive Over Relaxation - S.O.R.) η οποία είναι μια επαναληπτική μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε για την επίλυση εξισώσεων του προβλήματος. Επιπροσθέτως παρουσιάζουμε τον αλγόριθμο του Thomas για την επίλυση αλγεβρικού συστήματος με τριδιαγώνιο πίνακα αγνώστων και μία επαναληπτική, μερικώς μη εκπεφρασμένη μεθοδολογία επίλυσης εξισώσεων με μερικές παραγώγους (line by line implicit method). Στο τρίτο κεφάλαιο παραθέτουμε την μαθηματική μοντελοποίηση του φυσικού προβλήματος που περιγράφεται από ένα συζευγμένο μη γραμμικό σύστημα διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους που υπόκεινται σε κατάλληλες συνοριακές συνθήκες. Οι εξισώσεις αυτές μετασχηματίζονται με την εισαγωγή της ρευματική συνάρτησης και του στροβιλισμού. Στη συνέχεια εκτελούμε διάφορους μετασχηματισμούς του φυσικού χωρίου και του υπολογιστικού πλέγματος, κατασκευάζουμε τις συνοριακές συνθήκες και παρουσιάζουμε τον αλγόριθμο της αριθμητικής επίλυσης του προβλήματος. Τέλος, στο τέταρτο κεφάλαιο παραθέτουμε αποτελέσματα για διάφορες τιμές των παραμέτρων που σχετίζονται με το φυσικό πρόβλημα. Εκτελούμε συγκρίσεις μεταξύ ροής του ρευστού υπό την επίδραση μαγνητικού πεδίου σε σύγκριση με την απλή υδροδυναμική περίπτωση, δηλαδή της ροής του ρευστού χωρίς την παρουσία μαγνητικού πεδίου. Η επίδραση του μαγνητικού πεδίου στην ροή είναι σημαντική τόσο για το πεδίο ταχυτήτων όσο και για το πεδίο θερμοκρασίας. Παρουσιάζουμε επίσης την σημαντική επίδραση του συντελεστή τριβής και μεταφοράς θερμότητας στα τοιχώματα.

Αρχείο Διπλωματικής Εργασίας

Συγγραφέας: Κάρλος Σταμάτης
Λέξεις Κλειδιά: Γεννήτριες τυχαίων αριθμών, Ψευδοτυχαίοι αριθμοί, Τυχαίοι αριθμοί, Τυχαιότητα, Ανακάτεμα, Προσομοίωση

Σύνοψη: Σκοπός της συγκεκριμένης πτυχιακής εργασίας αποτελεί η μελέτη, η ανάλυση, η διερεύνηση και η κατηγοριοποίηση των σημαντικότερων μεθόδων παραγωγής τυχαίων αριθμών. Σε πρώτο στάδιο, παρουσιάσθηκε μία ιστορική αναδρομή σχετικά με τους τυχαίους αριθμούς και αναφέρθηκαν οι σημαντικότερες εφαρμογές που αυτοί βρίσκουν εφαρμογή. Στη συνέχεια, προσδιορίστηκαν οι ιδιότητες που πρέπει να πληρούνται στις γραμμικές συμπτωτικές γεννήτριες καθώς και τα κυριότερα χαρακτηριστικά των υπόλοιπων γεννητριών. Εν συνεχεία, παρουσιάσθηκαν οι πιο γνωστές σουίτες στατιστικών τεστ που αξιοποιούνται πλέον από το σύνολο των σύγχρονων εταιριών, οι οποίες απαιτούν κάποιο επίπεδο τυχαιότητας στις εφαρμογές τους. Επιπλέον, στην εργασία συμπεριλήφθηκαν οι υλοποιήσεις που έγιναν στα υπολογιστικά περιβάλλοντα των Python, R και Matlab, προκειμένου να εξομοιωθεί η συμπεριφορά διαφόρων γεννητριών τυχαίων αριθμών και να εξετασθεί η συμπεριφορά τους με τα εκάστοτε στατιστικά κριτήρια. Τέλος, αναλύεται εις βάθος η υλοποίηση του τυχερού παιχνιδιού Draw Poker, με σκοπό την εξομοίωση του τρόπου λειτουργίας της με τη χρήση ψευδοτυχαίων αριθμών και την εξακρίβωση της ορθότητας και του επιπέδου εμπιστοσύνης σε μία τέτοιου είδους ντετερμινιστική εφαρμογή.

Αρχείο Διπλωματικής Εργασίας

Συγγραφέας: Παπαδοπούλου Αργυρώ
Λέξεις Κλειδιά: Ηλεκτρονικές δεξιότητες, Εξ αποστάσεως εκπαίδευση

Σύνοψη: Οι ραγδαίες τεχνολογικές εξελίξεις των τελευταίων ετών και μια σειρά επιπλέον λόγων όπως η οικονομική κρίση, η παγκοσμιοποίηση και οι υψηλοί δείκτες ανεργίας επηρέασαν τις δομές και τις απαιτήσεις στην αγορά εργασίας. Γενικότερα, παρατηρήθηκε στροφή των αγορών σε θέσεις εργασίας που χαρακτηρίζονται από μεγαλύτερη ένταση ικανοτήτων και δημιουργία πολλών θέσεων εργασίας στον τομέα των υπηρεσιών και της τεχνολογίας. Στην ταχύτητα αλλαγής του σκηνικού στον τομέα της απασχόλησης φάνηκε να μην μπορεί να ανταποκριθεί επαρκώς το εκπαιδευτικό σύστημα. Η προσαρμογή των διαδικασιών και των φιλοσοφιών των εκπαιδευτικών συστημάτων στις νέες απαιτήσεις της αγοράς εργασίας ήταν αργή δημιουργώντας τεράστια κενά στην προσφορά συγκεκριμένων προσόντων και δεξιοτήτων, κυρίως στον τομέα ΤΠΕ. Σε ευρωπαϊκό επίπεδο το παραπάνω πρόβλημα άρχισε να γίνεται αντιληπτό στις αρχές της χιλιετίας και έχοντας ως απώτερο σκοπό τη δημιουργία μιας ενιαίας Ευρωπαϊκής αγοράς ξεκίνησε μια σειρά δράσεων. Οι δράσεις αυτές στοχεύουν στην ανάπτυξη ικανοτήτων προσαρμοσμένων στις νέες απαιτήσεις της αγοράς εργασίας καταργώντας τα εθνικά σύνορα. Περιλαμβάνουν δημιουργία ευρωπαϊκών και εθνικών πλαισίων προσόντων, (συνδεδεμένων μεταξύ τους), προγράμματα συνεχούς επιμόρφωσης και κατάρτισης, προσανατολισμό των εκπαιδευτικών συστημάτων στα μαθησιακά αποτελέσματα και σεμινάρια απόκτησης ηλεκτρονικών ικανοτήτων. Οι νέες αυτές απαιτήσεις σε συνδυασμό με την εξέλιξη της τεχνολογίας είχαν ως επακόλουθο τη δημιουργία νέων μέσων και μεθόδων διδασκαλίας οι οποίες φαίνεται να καλύπτουν τις αδυναμίες των συμβατικών μορφών. Η ενίσχυση της εξ –αποστάσεως εκπαίδευσης και η αύξηση του αγοραστικού της κοινού ανάγκασαν του εκπαιδευτικούς φορείς να προσαρμοστούν στα νέα δεδομένα. Έτσι έχοντας ως βασική υποδομή τις πλατφόρμες ηλεκτρονικής μάθησης και τις υπηρεσίες του Web 2.0 η εξ-αποστάσεως εκπαίδευση έχει καθιερωθεί όχι μόνο στους εκπαιδευτικούς φορείς αλλά και στα επιχειρηματικά προγράμματα κατάρτισης εργαζομένων . Σκοπός της πτυχιακής αυτής εργασίας είναι ο σχεδιασμός και η δημιουργία ενός διαδικτυακού μαθήματος, στην πλατφόρμα ηλεκτρονικής μάθησης Moodle, με στόχο την ανάπτυξη ικανοτήτων για το επάγγελμα του “Προγραμματιστή Διαδραστικής Πολιτιστικής Εμπειρίας” όπως αυτές εμφανίζονται στο ευρωπαϊκό πλαίσιο προσόντων e-cf. Βασικός προσανατολισμός της πτυχιακής εργασίας είναι να εκμεταλλευτεί τα εργαλεία τεχνολογίας που προσφέρονται προκειμένου να δημιουργηθεί ένα ηλεκτρονικό μάθημα βασισμένο στα μαθησιακά αποτελέσματα και να συνδέσει μέσω της χρήσης του πλαισίου προσόντων την αγορά εργασίας με την εκπαίδευση.

Αρχείο Διπλωματικής Εργασίας

Συγγραφέας: Σαλτού Ελένη
Λέξεις Κλειδιά: Οπτικοποίηση, Αναπαραστάσεις μαθηματικών εννοιών, Ρητοί αριθμοί, Άρρητοι αριθμοί, Ομοιότητα πολυγώνων, Διδακτικό πείραμα

Σύνοψη: Η διδακτική των μαθηματικών μελετά το πώς μαθαίνουν τα παιδιά τις μαθηματικές έννοιες και διαδικασίες, ποιές και γιατί δυσκολεύονται να κατανοήσουν, και με ποιο τρόπο μπορούν να υπερβούν τα όποια γνωστικά εμπόδια προκύπτουν, για να τις κατανοήσουν. Σκοπός της εργασίας αποτελεί η μελέτη για το πώς συμβάλλει η γεωμετρική αναπαράσταση αυτών των εννοιών και διαδικασιών τόσο στη διδασκαλία τους, όσο και στην κατανόησή τους. Στην παρούσα διπλωματική εργασία παρουσιάζεται ακριβώς μια τέτοια διαδρομή, μια διδακτική, μερικά καθοδηγούμενη επαγωγή: από μια ευκολότερα κατανοήσιμη έννοια (την ομοιότητα σχημάτων) σε μια αρκετά πιο αφηρημένη και δύσληπτη έννοια, για τις πρώτες τάξεις του Γυμνασίου, αυτή του άρρητου αριθμού. Η διπλωματική εργασία αποτελείται από δύο κύρια μέρη. Στο πρώτο μέρος γίνεται επισκόπηση της σχετικής βιβλιογραφίας, με ανάλυση των σημαντικότερων αποτελεσμάτων ερευνητικών εργασιών που ασχολούνται με τις γεωμετρικές αναπαραστάσεις στη διδασκαλία των αρρήτων, και αναφορά σε εργασίες από το χώρο της εκπαιδευτικής και γνωστικής ψυχολογίας, καίριας σημασίας για την κριτική ανάλυση της προς μελέτη έννοιας. Παράλληλα, περιγράφεται το διδακτικό μοντέλο της καθοδηγούμενης ανακάλυψης. Στο δεύτερο μέρος, αρχικά, γίνεται παρουσίαση της μεθοδολογίας της έρευνας, της σχολικής τάξης όπου έγινε το διδακτικό πείραμα και της μεθόδου συλλογής των δεδομένων. Στη συνέχεια, γίνεται ανάλυση των αποτελεσμάτων της πραγματοποιηθείσας έρευνας, με έμφαση στην ανάλυση των διαλόγων, τη διαδικασία σκέψης των μαθητών, στα προβλήματα που ανακύπτουν και τους δυνητικούς τρόπους επίλυσής τους.

Αρχείο Διπλωματικής Εργασίας

Συγγραφέας: Καραμέρος Παναγιώτης
Λέξεις Κλειδιά: Αξία σε κίνδυνο, Αναμενόμενο έλλειμα

Σύνοψη: Η ποσοτικοποίηση του κινδύνου της αγοράς μέσω της Αξίας σε Κίνδυνο (Value at Risk), αποτελεί ένα χρήσιμο εργαλείο ελέγχου για ένα χρηματοοικονομικό οργανισμό προκειμένου να διασφαλίζεται η επάρκεια ρευστότητας και η ασφάλεια των επενδύσεων. Ωστόσο, η μαθηματική μοντελοποίηση του κινδύνου για ένα χαρτοφυλάκιο αποτελεί ένα δύσκολο εγχείρημα. Στη παρούσα διπλωματική εργασία εξετάζονται τεχνικές εκτίμησης της Αξίας σε Κίνδυνο, που αποτελεί ένα σημαντικό μέτρο κινδύνου και βασίζεται στην κατανομή των αποδόσεων ενός χαρτοφυλακίου. Αρχικά, παρουσιάζονται οι κατηγορίες οικονομικού κινδύνου και ο ρόλος που παίζουν τα μέτρα κινδύνου. Εισάγονται οι έννοιες της Αξίας σε Κίνδυνο και του Αναμενόμενου Ελλείμματος (Expected Shortfall) και μελετώνται πιθανοί τρόποι εκτίμησης τους. Η μελέτη επικεντρώνεται σε δύο κατανομές από τη θεωρία ακραίων τιμών, τη Γενικευμένη Κατανομή Ακραίων Τιμών και τη Γενικευμένη Pareto. Για την εκτίμηση των παραμέτρων των κατανομών αυτών επιλέγονται δεδομένα σύμφωνα με δύο τεχνικές. Αυτές είναι η μέθοδος Μεγίστων ανά Περίοδο (Block Maxima) και η μέθοδος Κορυφών πάνω από Κατώφλι (Peaks Over Threshold), οι οποίες παρουσιάζονται αναλυτικά. Η εκτίμηση των παραμέτρων μπορεί να γίνει με τη κλασσική μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας, όμως εδώ χρησιμοποιούνται εναλλακτικά και μέθοδοι Monte Carlo και Markov Chain Monte Carlo, όταν το πρόβλημα αντιμετωπίστηκε με μία Μπεϋζιανή οπτική. Πιο συγκεκριμένα, χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος της δειγματοληψίας σπουδαιότητας (Importance Sampling) και ο υβριδικός δειγματολήπτης Gibbs, δηλαδή ένας δειγματολήπτης Gibbs στον οποίο τουλάχιστον μια προσομοίωση από την πλήρη δεσμευμένη κατανομή έχει αντικατασταθεί από ένα βήμα Metropolis, καθώς δεν μπορεί να γίνει απευθείας προσομοίωση από αυτή λόγω της πολύπλοκης μορφής της. Τέλος, χρησιμοποιήθηκε και η μη παραμετρική μέθοδος Hill, ως εναλλακτική των εκτιμήσεων που γίνονται με βάση τη Γενικευμένη Pareto. Για την πειραματική μελέτη των τεχνικών εκτίμησης της Αξίας σε Κίνδυνο και του Αναμενόμενου Ελλείμματος που αναφέρθηκαν προηγουμένως, χρησιμοποιήθηκαν πραγματικά δεδομένα κίνησης τεσσάρων χρηματιστηριακών δεικτών και τεσσάρων χρηματιστηριακών προϊόντων (μετοχών). Τέλος, για την εφαρμογή αξιοποιήθηκαν πακέτα διαθέσιμα στη στατιστική γλώσσα προγραμματισμού R ενώ συμπληρωματικά δημιουργήθηκε κώδικας R όπου αυτό απαιτήθηκε.

Αρχείο Διπλωματικής Εργασίας

Συγγραφέας: Αστεριώτη Φωτεινή
Λέξεις Κλειδιά: Υπογραφή συστήματος, Συνεχόμενο k-από-τα-n σύστημα, Συνάρτηση αξιοπιστίας

Σύνοψη: Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται μία μελέτη ενός σημαντικού εργαλείου για την επίλυση μίας σειράς προβλημάτων στην αξιοπιστία συστημάτων, το οποίο ονομάζεται υπογραφή συστήματος (system signature). Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο της εργασίας δίνονται εισαγωγικές έννοιες της Θεωρίας Αξιοπιστίας. Εισάγεται η έννοια του μονότονου συστήματος και χρησιμοποιείται η συνάρτηση δομής και οι ιδιότητές της, ως μέσο για την μελέτη της απόδοσης ενός συστήματος και την σύγκρισή του με ένα άλλο σύστημα. Στη συνέχεια, δίνονται οι σχέσεις υπολογισμού της συνάρτησης δομής με τη βοήθεια των ελαχίστων συνόλων διαδρομής (minimal path sets) και αποκοπής (minimal cut sets). Παρουσιάζεται επίσης, η αξιοπιστία ενός συστήματος μέσω της συνάρτησης δομής του, και δίνεται η έννοια του δυϊκού ενός συστήματος. Στο δεύτερο κεφάλαιο εισάγεται η έννοια της υπογραφής ενός μονότονου συστήματος αξιοπιστίας, η οποία ορίζεται με τη βοήθεια των διατεταγμένων χρόνων ζωής των συνιστωσών του. Στη συνέχεια, παρουσιάζονται οι υπογραφές γνωστών συστημάτων και ο τρόπος υπολογισμού τους. Δίνονται ακριβείς τύποι για τον υπολογισμό της συνάρτησης επιβίωσης, καθώς και άλλων χαρακτηριστικών ενός συστήματος, όπως είναι ο ρυθμός αποτυχίας. Επίσης, εισάγονται οι έννοιες της minimal και maximal υπογραφής ενός μονότονου συστήματος. Διατυπώνονται τρεις διαφορετικοί τρόποι σύγκρισης της απόδοσης μονότονων συστημάτων, τα αποτελέσματα των οποίων στηρίζονται στη διάταξη των διανυσμάτων των υπογραφών τους. Επιπλέον, χρησιμοποιείται η έννοια της υπογραφής για να μελετηθεί ένα παράδειγμα στοχαστικής σύγκρισης συστημάτων που βασίζονται στην αρχή του πλεονασμού. Το τρίτο κεφάλαιο επικεντρώνεται στην υπογραφή των συνεχόμενων k-από-τα-n συστημάτων αποτυχίας. Αρχικά, παρουσιάζονται αναδρομικές σχέσεις που έχουν δοθεί για τον υπολογισμό της υπογραφής των συστημάτων αυτών, καθώς και εκφράσεις μέσω συνδυαστικής ανάλυσης. Δίνονται, επίσης, σχέσεις για την αξιοπιστία των συνεχόμενων συστημάτων, ως μίξη των αξιοπιστιών των διατεταγμένων χρόνων ζωής των συνιστωσών τους μέσω της υπογραφής του συστήματος. Τέλος, παρουσιάζονται συνθήκες διατήρησης της ιδιότητας γήρανσης IFR των συνεχόμενων k-από-τα-n συστημάτων αποτυχίας και συγκρίσεις των χρόνων ζωής διαφόρων συνεχόμενων συστημάτων αξιοπιστίας.

Αρχείο Διπλωματικής Εργασίας

Συγγραφέας: Σουρμελίδης Αθανάσιος
Λέξεις Κλειδιά: Υπερκυκλικοί τελεστές, Γραμμικό χάος

Σύνοψη: Είναι ευρέως διαδεδομένο ότι η έννοια του χάους συνδέεται με τη μη γραμμικότητα. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι διαισθητικά περιμένουμε από μία γραμμική απεικόνιση να παρουσιάζει μία ̔ ̔ προβλέψιμη ̓ ̓ συμπεριφορά. Κάτι το οποίο όμως δεν αληθεύει. Πρώτος ο G.D. Birkhoff (1929) βρήκε ένα παράδειγμα ενός τελεστή με ένα σημαντικό στοιχείο του χάους: ο τελεστής είχε πυκνή τροχιά. Στη συνέχεια ακολούθησαν οι G.R. Maclane (1952) και S. Rolewisz (1969), οι οποιοί βρήκαν επιπλέον παραδείγματα τελεστών με πυκνή τροχιά. Παρακινούμενοι από αυτά τα παραδείγματα, πολλοί ερευνητές άρχισαν να μελετούν την έννοια του χάους υπό το πρίσμα της γραμμικότητας, ονομάζοντας τους τελεστές με πυκνή τροχιά υπερκυκλικούς. Το καθοριστικό βήμα έγινε από τους G. Godefroy και J.H. Shapiro (1991), οι οποίοι όχι μόνο ανακάλυψαν καινούργιες κλάσεις υπερκυκλικών τελεστών, αλλά πρότειναν επίσης να γίνει αποδεκτός ο ορισμός του (μη γραμμικου) χάους, που είχε δοθει από τον Devaney, ως ο ορισμός του γραμμικού χάους: ́Ενας τελεστής είναι χαοτικός αν: 1) έχει πυκνή τροχιά, 2) έχει ευαίσθητη εξάρτηση στις αρχικές συνθήκες, 3) το σύνολο των περιοδικών του σημείων είναι πυκνό. Σκοπός αυτής της εργασίας, η οποία βασίζεται στο βιβλίο Linear Chaos των Karl-G. Grosse- Erdmann και A.Peris Manguillot, είναι να γίνει μία εισαγωγή στη θεωρία των υπερκυκλικών τελεστών και ταυτόχρονα να παρουσιαστούν ορισμένα από τα πιο θεμελιώδη θεωρήματα της θεωρίας αυτής. Στο 1ο κεφάλαιο γίνεται μία εισαγωγή στη θεωρία των δυναμικών συστημάτων (όχι απαραίτητα γραμμικών) και παρουσιάζονται ορισμένα αποτελέσματα με βασικότερο αυτών, το θεώρημα του Birkhoff που δίνει μία συνθήκη ώστε μία απεικόνιση να έχει πυκνή τροχιά. Στο 2ο κεφάλαιο γίνεται η κατασκευή των χώρων Fr ́echet, που είναι μία γενίκευση των χώρων Banach και στη συνέχεια μεταφέρουμε τα αποτελέσματα του 1ου κεφαλαίου πάνω σε γραμμικά δυναμικά συστήματα. Στο 3ο κεφάλαιο παρουσιάζονται ορισμένα κριτήρια που αν ικανοποιεί ένας τελεστής, θα είναι υπερκυκλικός ή ακόμα και χαοτικός, με τελικό το κριτήριο Υπερκυκλικότητας. Στο 4ο κεφάλαιο παρουσιάζονται δύο από τα σπουδαιότερα θεωρήματα της θεωρίας των υπερκυκλικών τελεστών: 1)το θεώρημα της Ansari, 2)το θεώρημα των Bourdon-Feldmann. Στο 5ο κεφάλαιο παρουσιάζεται μία από τις πιο πρόσφατες έννοιες στη θεωρία των υπερκυκλικών τελεστών και που έχει γεννηθεί από την εργοδική θεωρία: αυτή της συχνής υπερκυκλικότητας. Τέλος, στο 6ο κεφάλαιο μελετάται η ύπαρξη κοινών υπερκυκλικών διανυσμάτων μίας υπερα- ριθμήσιμης οικογένειας τελεστών.

Αρχείο Διπλωματικής Εργασίας

Συγγραφέας: Ντοκομέ Αγλαΐα-Παρασκευή
Λέξεις Κλειδιά: Ποιότητα, Συστήματα διασφάλισης ποιότητας, Εργασία

Σύνοψη: Αντικείμενο της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η ανάλυση και η διερεύνηση παραγόντων, οι οποίοι διαμορφώνουν το περιβάλλον εργασίας με την εγκατάσταση συστημάτων διασφάλισης ποιότητας. Για την άντληση πληροφοριών και την εξαγωγή συμπερασμάτων έγιναν δομημένες συνεντεύξεις σε εργαζόμενους συγκεκριμένων επιχειρήσεων με συστήματα διασφάλισης ποιότητας. Στην αρχή της εργασίας γίνεται εισαγωγή σε σημαντικές έννοιες όπως η ποιότητα, τα συστήματα διασφάλισης ποιότητας καθώς τα πρότυπα. Στη συνέχεια, αναφέρεται η έννοια του προτύπου και οι αντίστοιχες απαιτήσεις. Περιγράφεται αναλυτικά η διαδικασία πιστοποίησης επιχειρήσεων και παρατίθονται τα οφέλη που προκύπτουν από αυτή. Στα τελευταία κεφάλαια της εργασίας παρουσιάζεται η επεξεργασία των δεδομένων, η ανάλυση των αποτελεσμάτων καθώς και η εξαγωγή των συμπερασμάτων της έρευνας. Εν συνεχεία πραγματοποιείται σχολιασμός σε σχέση με τα δεδομένα της βιβλιογραφικής έρευνας που έγινε στα προηγούμενα κεφάλαια .

Αρχείο Διπλωματικής Εργασίας

Συγγραφέας: Τσιφτιλή Μαρία
Λέξεις Κλειδιά: Ποιότητα, Συστήματα διασφάλισης ποιότητας

Σύνοψη: Σκοπός αυτής της διπλωματικής εργασίας είναι η όσο το δυνατόν καλύτερη προσέγγιση της έννοιας της Ποιότητας και των Συστημάτων Διαχείρισης Ποιότητας, έννοιες πολύ βασικές αναφορικά με την εργασιακή οργάνωση και συμπεριφορά. Η εργασία δομείται σε τέσσερα κύρια κεφάλαια καθένα από τα οποία πραγματεύεται ένα διαφορετικό θέμα. Πιο συγκεκριμένα, αρχικά παρατίθενται λεπτομέρειες για τις βασικές αρχές της σειράς ISO 9000 καθώς και για τα πρότυπα που αυτή περιλαμβάνει, στη συνέχεια αναλύεται το πρότυπο Διαχείρισης Ποιότητας ISO 9001, οι βασικές αρχές του και οι απαιτήσεις του, όπως και ο τρόπος με τον οποίo μια επιχείρηση μπορεί να εφαρμόσει ένα ευέλικτο Σύστημα Διαχείρισης Ποιότητας με σκοπό την ικανοποίηση του πελάτη και τη συνεχή βελτίωση. Τέλος γίνεται επεξεργασία των δεδομένων, τα οποία συλλέχθηκαν με τη βοήθεια ερωτηματολογίου και αναλύθηκαν με τη χρήση του στατιστικού πακέτου SPSS 20.00. Η εργασία ολοκληρώνεται με την εξαγωγή των συμπερασμάτων και την παράθεση της βιβλιογραφίας από όπου αντλήθηκαν οι κυρίαρχες πηγές για τη συγγραφή του παρόντος πονήματος.

Αρχείο Διπλωματικής Εργασίας

Συγγραφέας: Αντωνέλου Γεωργία
Λέξεις Κλειδιά: Εξόρυξη δεδομένων, Σύστημα διαχείρισης μάθησης, Κατηγοριοποίηση, Παλινδρόμηση, Πρόβλεψη

Σύνοψη: Τα τελευταία χρόνια πολλά Εκπαιδευτικά Ιδρύματα έχουν υιοθετήσει Διαδικτυακές Πλατφόρμες Μάθησης, όπως Συστήματα Διαχείρισης Μάθησης (Learning Management Systems) και άλλες Διαδικτυακές Εφαρμογές. Η δυνατότητα της λεπτομερούς καταγραφής και αποθήκευσης μεγάλου όγκου δεδομένων (Big Data), καθιστά αυτά τα Συστήματα μια δεξαμενή «κρυμμένης» γνώσης η οποία μπορεί να αποκαλυφθεί με διάφορους μηχανισμούς εξόρυξης (Εξόρυξη Γνώσης από Εκπαιδευτικά Δεδομένα- Educational Data Mining & Learning Analytics). Η ερμηνείας της γνώσης αυτής, δύναται να συνεισφέρει στη λήψη αποφάσεων σε πολλά επίπεδα και κυρίως στη βελτίωση των εκπαιδευτικών και μαθησιακών διαδικασιών που συνδέονται άμεσα με την Εκπαίδευση. Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η εξόρυξη και αξιοποίηση των δεδομένων και των πληροφοριών που προέρχονται από τη Διαδικτυακή Πλατφόρμα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου- ενός εκπροσώπου της εξ Αποστάσεως Εκπαίδευσης- εφαρμόζοντας κατάλληλες μεθόδους και τεχνικές Εξόρυξης Γνώσης σε Εκπαιδευτικά Δεδομένα (EDM). Συγκεκριμένα, παρουσιάζεται μια μελέτη (Case Study) Εξόρυξης Δεδομένων από την Διαδικτυακή Πλατφόρμα Moodle του ΕΑΠ, στο πλαίσιο της Θεματική Ενότητας ΠΛΗ37 «Πληροφορική και Εκπαίδευση» κατά τη διάρκεια ενός ακαδημαϊκού έτους. Πρόκειται για ένα πρόβλημα πρόβλεψης μαθησιακών αποτελεσμάτων (Predicting the Course Outcomes) με τη βοήθεια ενός προβλεπτικού μοντέλου της επίδοσης τελικής εξέτασης στο πλαίσιο της ΘΕ ΠΛΗ37. Η εύρεση του κατάλληλου προβλεπτικού μοντέλου (ή αλλιώς «Κατηγοριοποιητή» - classifier) πραγματοποιήθηκε με τη χρήση κατάλληλης προσέγγισης της μεθόδου Κατηγοριοποίησης (Classification) και διεξήλθε με τη βοήθεια λογισμικών εφαρμογής Αλγορίθμων Εξόρυξης Δεδομένων (Weka, R Programming). Οι ερευνητικές προεκτάσεις της παρούσας έρευνας, όπως προκύπτει και από σχετική βιβλιογραφική ανασκόπηση, είναι η συνδρομή/συνεισφορά κατάλληλων προβλεπτικών μεθόδων (στην τρέχουσα περίπτωση της Κατηγοριοποίησης (Classification) και Παλινδρόμησης (Regression)) για την αντιμετώπιση φαινομένων μη-επιτυχούς επίδοσης των φοιτητών σε μια ΘΕ καθώς και φαινομένων εγκατάλειψης (dropouts) μιας ΘΕ. Επομένως, η αξιοποίηση έγκαιρων και αξιόπιστων πληροφοριών (όπως η πρόβλεψη ακαδημαϊκής επιτυχίας-επίδοσης φοιτητή κ.ά) συντελεί καταλυτικά στη λήψη αποφάσεων και κατ’ επέκταση στην πολύ-επίπεδη βελτίωση (εκπαιδευτικό, μαθησιακό, οργανωτικό, διοικητικό) των Εκπαιδευτικών Δομών.

Αρχείο Διπλωματικής Εργασίας

Συγγραφέας: Παπαμιχαήλ Αναστασία
Λέξεις Κλειδιά: Παίγνια, Στρατηγική, Ισορροπία Nash, Παίχτες, Δημοπρασίες

Σύνοψη: Η παρούσα διπλωματική εργασία πραγματεύεται τη Θεωρία Παιγνίων που αποτελεί ένα από τα πιο σημαντικά εργαλεία της Επιχειρησιακής Έρευνας και επιλύει περιπτώσεις πολλών ληπτών αποφάσεων σε περιβάλλον ανταγωνιστικών συμπεριφορών. Η Θεωρία Παιγνίων προέρχεται από τον κλάδο των εφαρμοσμένων μαθηματικών και εφαρμόζεται σε ολοένα και περισσότερους τομείς της επιστήμης και της ζωής, με κυρίαρχο τον τομέα της Οικονομίας. Στο 1ο κεφάλαιο αναφέρονται η ιστορική αναδρομή και οι βασικές αρχές της Επιχειρησιακής Έρευνας. Στο 2ο κεφάλαιο εισαγόμαστε στη Θεωρία Παιγνίων, περιγράφουμε τις ποικίλες εφαρμογές της σε όλους τους τομείς της ζωής και αναλύουμε τις βασικές έννοιες της και τους τρόπους αναπαράστασης. Στο 3ο κεφάλαιο περιγράφονται τα βασικά παίγνια δύο παικτών μηδενικού αθροίσματος καθώς και ο τρόπος επίλυσής τους είτε μέσω αμιγών είτε μεσω μικτών στρατηγικών. Συνεχίζοντας, στο 4ο κεφάλαιο ορίζουμε τα στρατηγικά παίγνια, την κυριαρχία των στρατηγικών, όπως επίσης και τα κλασικά παίγνια μη μηδενικού αθροίσματος, συμπεριλαμβανομένου του γνωστού «Prisoner’s Dilemma» και των εφαρμογών του. Στο 5ο κεφάλαιο περιγράφουμε την ισορροπία Nash για παίγνια με αμιγείς και μικτές στρατηγικές και αναλύουμε τη διαδικασία εύρεσης της βέλτιστης λύσης στρατηγικού παιγνίου με την παράθεση κατάλληλων παραδειγμάτων και με τη χρήση του λογισμικού Gambit. Έπειτα, μέσω του 6ου κεφαλαίου μαθαίνουμε για τα εκτεταμένα παίγνια με τέλεια πληροφόρηση, τις λύσεις τους καθώς και τον τρόπο εύρεσης της ισορροπίας Nash. Τα συμμαχικά παίγνια, που είναι ένα ακόμα είδος παιγνίων, αναλύονται στο 7ο κεφάλαιο και κατανοούνται από την εφαρμογή τους στα αντίστοιχα παραδείγματα. Τέλος στο 8ο κεφάλαιο μαθαίνουμε σχετικά με μία σπουδαία και πολύ χρήσιμη στις μέρες μας εφαρμογή της Θεωρίας Παιγνίων που είναι οι δημοπρασίες. Εκεί καταγράφονται τα βασικά μεγέθη των δημοπρασιών, περιγράφονται τα πολλά είδη τους, ενός ή πολλών αντικειμένων, ορίζονται οι Μπεϋζιανές δημοπρασίες όπως επίσης και οι γνωστές σε όλους μας ηλεκτρονικές δημοπρασίες που χρησιμοποιούνται ευρέως στο διαδίκτυο.

Αρχείο Διπλωματικής Εργασίας

Συγγραφέας: Κοκκινάκης Δημήτρης
Λέξεις Κλειδιά: Ωρίμανση Ostwald, Συστήματα μη γραμμικών ΣΔΕ, Aνάλυση ευστάθειας

Σύνοψη: Η ωρίμανση κατά Ostwald είναι η διεργασία μέσω της οποίας ένα σύνολο κρυστάλλων δαφόρων μεγεθών, μέσα σε ένα διάλυμα, καταλήγει στην κατάσταση όπου υπάρχουν πλέον μόνο κρύσταλλοι ενός συγκεκριμένου μεγέθους. Οι κρύσταλλοι μικρότερου μεγέθους διαλύονται, αυξάνοντας έτσι τη συγκέντρωση του διαλύματος, ενώ οι μεγαλύτεροι κρύσταλλοι με τη σειρά τους αντλούν υλικό από το διάλυμα και κατά συνέπεια διευρύνουν το μέγεθός τους. Αυτή η ανταλλαγή υλικού έχει ως αποτέλεσμα την επικράτηση των αρχικά μεγαλύτερων κρυστάλλων. Το τελικό τους μέγεθος καθορίζεται με τέτοιο τρόπο, ώστε να είναι σε πλήρη ισορροπία με την τελική συγκέντρωση του διαλύματος. Στην παρούσα διπλωματική εργασία εισάγουμε το μαθηματικό μοντέλο της παραπάνω διεργασίας, το οποίο περιγράφεται από ένα σύστημα Ν συζευγμένων μη-γραμμικών συνήθων διαφορικών εξισώσεων (με Ν το πλήθος των διαφορετικών μεγεθών μέσα στο διάλυμα). Επιλύοντας το παραπάνω μοντέλο παρακολουθούμε τη χρονική εξέλιξη του συστήματος. Επικεντρώνουμε την προσοχή μας στις διαδοχικές στιγμές μηδενισμού των μικρότερων κρυστάλλων, καθώς επίσης στα χαρακτηριστικά της τελικής κατάστασης ισορροπίας για t → ∞. Τέλος, παρουσιάζουμε τη σύνδεση του συστήματός μας με διάφορες άλλες εφαρμογές της ωρίμανσης Ostwald, όπως η εξάπλωση και εξέλιξη μιας επιδημικής νόσου καθώς και μια παραλλαγή της διεργασίας έτσι ώστε η τελική κατάσταση ισορροπίας να παρουσιάζει ταλαντωτική συμπεριφορά.

Αρχείο Διπλωματικής Εργασίας

Συγγραφέας: Παλαιολόγος Δημοσθένης
Λέξεις Κλειδιά: Πιθανότητες, Συναρτήσεις, Μαθηματικά λυκείου

Σύνοψη: Ο σκοπός που γράφτηκε η παρούσα διπλωματική είναι: α) Να γίνει μια σύντομη αναδρομή στην ιστορία του διδακτικού βιβλίου στο Ελληνικό Εκπαιδευτικό σύστημα. Να δούμε πως το σχολικό βιβλίο βοήθησε να ανθίσει η τυπογραφία στο νεοσύστατο Ελληνικό κράτος. Θα αναφερθούμε επιγραμματικά στις γενικές επιστημονικές, παιδαγωγικές, και διδακτικές αρχές, που πρέπει να πληροί το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών σύμφωνα με το Ινστιτούτο Εκπαιδευτικής Πολιτικής. Θα αναφέρουμε τον τρόπο που γίνεται ο ορισμός της συγγραφικής ομάδος καθώς και την διαδικασία έκδοσης και διανομής των σχολικών βιβλίων. β) Να δούμε ποιός είναι ο γενικός σκοπός διδασκαλίας των Μαθηματικών στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο όπως αυτός καθορίζεται μέσα από τα Προγράμματα Σπουδών. Να αναφέρουμε το νομοθετικό πλαίσιο που οριοθετεί την διδασκαλία των Μαθηματικών στις διάφορες βαθμίδες της Δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Να εξετάσουμε αν οι ώρες που διδάσκονται τα Μαθηματικά σύμφωνα με το ωρολόγιο πρόγραμμα είναι αρκετές για να προσφερθεί η προβλεπόμενη από το θεσμικό πλαίσιο μαθηματική παιδεία. γ) Να παρουσιάσουμε περιληπτικά την ύλη που διδάσκεται στο Γυμνάσιο. Θα αναφερθούμε επιγραμματικά στις βασικές έννοιες που διδάσκονται και αποτελούν τον βασικό κορμό της Μαθηματικής εκπαίδευσης στο Γυμνάσιο, καθώς και στις δευτερεύουσες Μαθηματικές έννοιες όπως αυτές παρουσιάζονται σε κάθε τάξη. δ) Να παρουσιάσουμε την ύλη που διδάσκονται οι μαθητές στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας στο μάθημα της ''Άλγεβρας'' στην Α, Β Λυκείου και στα ''Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής'' στην Γ Λυκείου.

Αρχείο Διπλωματικής Εργασίας

Συγγραφέας: Τσίνος Χρήστος
Λέξεις Κλειδιά: Διακριτοποίηση ΣΔΕ, Μέθοδος Kahan, Ολοκληρωσιμότητα, Βάσεις Ηirota-Kimura

Σύνοψη: Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάμε τις ολοκληρώσιμες διακριτοποιήσεις «τύπου Kahan» σε γνωστά συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Η συγκεκριμένη μέθοδος μπορεί να εφαρμοστεί σε κάθε δευτεροβάθμειο πολυωνυμικό διανυσματικό πεδίο και εμφανίστηκε επίσης σε εργασίες των Hirota και Kimura. Λόγω ενός μηχανισμού που ακόμα δεν έχει κατανοηθεί πλήρως, τέτοιες διακριτοποιήσεις φαίνεται να κληρονομούν την ολοκληρωσιμότητα των αλγεβρικά πλήρως ολοκληρώσιμων συστημάτων, όπως έχει δειχθεί σε εργασίες των Petrera και συνεργατών. Ο στόχος της παρούσας εργασίας είναι η μελέτη και η εφαρμογή της ευρετικής αυτής μεθόδου για την διερεύνηση της ολοκληρωσιμότητας διακριτοποιήσεων σε γνωστά συστήματα διαφορικών εξισώσεων.

Αρχείο Διπλωματικής Εργασίας

Συγγραφέας: Παπαδήμα Νίκη
Λέξεις Κλειδιά: Γάμμα συνάρτηση, Βήτα συνάρτηση

Σύνοψη: Η συνάρτηση Γάμμα του Euler είναι μία από τις πλέον βασικές ειδικές συναρτήσεις, όχι μόνον της ανάλυσης αλλά και της μαθηματικής φυσικής. Η συνεχής έρευνα στην περιοχή των μαθηματικών και της φυσικής, δημιούργησε την ανάγκη επέκτασης της συνάρτησης Γάμμα. Μία από τις επεκτάσεις είναι η q-Γάμμα συνάρτηση, η οποία έγινε με την εισαγωγή του q-λογισμού. Στην εργασία αυτή, συγκεντρώνονται και καταγράφονται οι ιδιότητες της q-Γάμμα συνάρτησης, καθώς και ανισότητες, που ικανοποιούν οι συναρτήσεις αυτές και σχετικές με αυτές συναρτήσεις, οι οποίες προκύπτουν, κυρίως, από ιδιότητες μονοτονίας αυτών. Στο πρώτο κεφάλαιο της εργασίας αναφέρονται οι γνωστές ιδιότητες της συνάρτησης Γάμμα. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα βασικά απαραίτητα στοιχεία του q λογισμού. Στο τρίτο κεφάλαιο ορίζονται οι συναρτήσεις q-Γάμμα, q-Βήτα και q-ψ(x) καθώς και γίνεται αναφορά στις ιδιότητες που ισχύουν για αυτές. Στο τέταρτο κεφάλαιο αναφέρονται ιδιότητες μονοτονίας συναρτήσεων που περιέχουν q-Γάμμα συναρτήσεις καθώς και ανισότητες που ικανοποιούν οι συναρτήσεις αυτές. Τα αποτελέσματα, που καταγράφονται , είναι συγκεντρωμένα από επιστημονικές εργασίες, που έχουν δημοσιευτεί, σχετικές με τις q-Γάμμα συναρτήσεις και πολλά εξ αυτών είναι γενικεύσεις ανάλογων αποτελεσμάτων που αφορούν σε Γάμμα συναρτήσεις.

Αρχείο Διπλωματικής Εργασίας

Συγγραφέας: Πετρόπουλος Κωνσταντίνος
Λέξεις Κλειδιά: Επαγωγικός λογικός προγραμματισμός

Σύνοψη: Σε αυτήν την εργασία μελετάται ο Επαγωγικός Λογικός Προγραμματισμός μέσα απο το πρίσμα της μάθησης της Γραμματικής της αγγλικής γλώσσας. Ο λόγος που επιλέχθηκε αυτό το πρόβλημα είναι ότι εξομοιώνει, μέχρι ενός σγημείου, τον τρόπο που τα παιδιά μαθαίνουν να μιλούν κάποια γλώσσα, υπό την έννοια ότι μαθαίνουν να μιλάνε χωρίς να έρθουν σε επαφή με τους κανόνες – τη γραμματική – της γλώσσας, αλλά από την επαφή τους με τα με τα ερεθίσματα – τα παραδείγματα – που έχουν από τον περίγυρό τους.

Αρχείο Διπλωματικής Εργασίας

Συγγραφέας: Σταθά Μαρίνα
Λέξεις Κλειδιά: Ομάδες Lie, Ομογενείς χώροι, Αναλλοίωτες μετρικές, Μετρικές Einstein, Πολλαπλότητες Stiefel

Σύνοψη: Σκοπός της εργασίας μας είναι η μελέτη κάποιων αναγωγικών χώρων που παρουσιάζουν ενδιαφέρουσα γεωμετρία. Συγκεκριμένα, μελετάμε τη γεωμετρία της σφαίρας S^n όταν αυτή είναι αμφιδιαφορική με έναν χώρο πηλίκο G/K και την γεωμετρία των πολλαπλοτήτων Stiefel SO(n)/SO(n-k) (το σύνολο όλων των k-πλαισίων του R^n). Ένας ομογενής χώρος αποτελεί επέκταση των ομάδων Lie, καθώς είναι μια λεία πολλαπλότητα M στην οποία δρα μεταβατικά μια ομάδα Lie G. Κάθε τέτοιος χώρος δίνεται ως M = G/K, όπου K = {g\in G : gp = p} (p \in M). Η βασική γεωμετρική ιδιότητα των ομογενών χώρων είναι ότι αν γνωρίζουμε την τιμή κάποιου γεωμετρικού μεγέθους σε ένα σημείο του χώρου, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή του μεγέθους αυτού σε οποιοδήποτε άλλο σημείο. Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό των αναγωγικών χώρων G/K είναι ότι υπάρχει ένας Ad(K)-αναλλοίωτος υπόχωρος της άλγεβρας Lie(G). Η περιγραφή όλων των μεταβατικών δράσεων μιας ομάδας Lie σε μια πολλαπλότητα M αποτελεί ένα δύσκολο πρόβλημα. Για την περίπτωση των σφαιρών αυτές έχουν περιγραφτεί το 1953 από τους Montgomery-Samelson-Borel. Στην εργασία μας μελετάμε τη γεωμετρία (καμπυλότητες, μετρικές Einstein) των σφαιρών S^3, S^5 όταν αυτές είναι αμφιδιαφορικές με τα πηλίκα S^3 = SO(4)/SO(3) = SU(2) και S^5 = SO(6)/SO(5) = SU(3)/SU(2). Αντίστοιχα προβλήματα εξετάζονται για τις πολλαπλότητες Stiefel SO(n)/SO(n-k), όπου η περιγραφή όλων των SO(n)-αναλλοίωτων μετρικών παρουσιάζει δυσκολία, λόγω του ότι η ισοτροπική αναπαράστασή τους περιέχει ισοδύναμα υποπρότυπα. Μελετάμε για ποιές από τις συγκεκριμένες πολλαπλότητες η μετρική που επάγεται από τη μορφή Killing είναι μετρική Einstein και περιγράφουμε αναλυτικά τις διαγώνιες SO(n)-αναλλοίωτες μετρικές Einstein στις πολλαπλότητες SO(n)/SO(n-2). Επιπλέον παρουσιάζουμε και ένα καινούργιο αποτέλεσμα, ότι στην πολλαπλότητα SO(5)/SO(2) οι μοναδικές SO(5)-αναλλοίωτες μετρικές Einstein είναι οι μετρικές που είχαν βρεθεί από τον Jensen το 1973.

Αρχείο Διπλωματικής Εργασίας

Συγγραφέας: Στεργίου Βιργινία
Λέξεις Κλειδιά: Απειροστό, Αδιαίρετο, Ταχύτητα σύγκλισης, Υπερ-πραγματικοί αριθμοί, Ερμηνευτικό μοντέλο, Εντασιακό-εκτασιακό, Ομογενές, Μηδενοδύναμο
Σύνοψη: Στόχος της παρούσας Διατριβής είναι να ερευνήσει τη διαμόρφωση των αντιλήψεων γύρω από τα απειροστά και τις σχετικές μ’ αυτά επ’ άπειρον διαδικασίες σε δύο κατευθύνσεις: 1. Την ιστορική εξέλιξη και ερμηνεία της έννοιας του απειροστού και 2. Την ανάλυση των σχετικών αντιλήψεων των φοιτητών-αυριανών καθηγητών των μαθηματικών. Στο πρώτο μέρος της διατριβής γίνεται ανάλυση και ερμηνεία των αντιλήψεων για τα απειροστά που εκφράστηκαν από την Αρχαία μέχρι τη σύγχρονη εποχή. Η μελέτη αυτή οδηγεί στην κατασκευή ενός ερμηνευτικού πλαισίου που διακρίνει τα ιστορικά ερμηνευτικά πρότυπα (μοντέλα) των απειροστών σε τρία αντιθετικά ζεύγη ως εξής: Ι. Εντασιακά-Εκτασιακά πρότυπα απειροστών. ΙΙ. Ομογενή-Μη ομογενή πρότυπα απειροστών. ΙΙΙ. Μηδενοδύναμα-μη μηδενοδύναμα πρότυπα απειροστών. Το παραπάνω πλαίσιο χρησιμοποιείται στο δεύτερο μέρος της διατριβής ως μεθοδολογικό εργαλείο για το σχεδιασμό διδακτικών πειραμάτων και την ανάλυση των εμπειρικών δεδομένων. Ειδικότερα, έγιναν τρία διδακτικά πειράματα με φοιτητές του Τμήματος των Μαθηματικών. Στο πρώτο πείραμα ερευνήθηκε η έννοια της ταχύτητας σύγκλισης ακολουθίας ως μια διαισθητική προσέγγιση στα απειροστά. Στο δεύτερο πείραμα, ερευνήθηκε η δυνατότητα προσέγγισης στα απειροστά μέσα από κλασσικά θέματα των διακριτών Μαθηματικών, όπως ο υπολογισμός του αθροίσματος των δυνάμεων φυσικών αριθμών. Στο τρίτο πείραμα έγινε διδασκαλία ενός συγκεκριμένου μοντέλου των υπερ-πραγματικών αριθμών και αναλύθηκαν τα αποτελέσματα. Τα κυριότερα συμπεράσματα της διατριβής είναι: 1. Η σημασία της κατασκευής μαθηματικών οντοτήτων που ικανοποιούν τα αξιώματα της Πραγματικής Ανάλυσης, 2. Η σημασία της διαισθητικής προσέγγισης και τα όριά της και 3. Η καταλληλότητα των προτεινόμενων μοντέλων και θεμάτων, ως διδακτικού υλικού.

Αρχείο Διδακτορικής Διατριβής

Συγγραφέας: Κωνσταντόπουλος Κωνσταντίνος
Λέξεις Κλειδιά: Διάσταση κάλυψης dim, Μικρή επαγωγική διάσταση ind, Μεγάλη επαγωγική διάσταση Ind

Σύνοψη: Η Θεωρία Διαστάσεων είναι από τους παλαιότερους κλάδους της Γενικής Τοπολογίας και μελετά, εκτός των άλλων, τη μικρή επαγωγική διάσταση ind, τη μεγάλη διάσταση Ind και την επονομαζόμενη διάσταση της κάλυψης dim. Οι πρώτοι που έδωσαν αποτελέσματα στη θεωρία διαστάσεων είναι οι Poincare, Brouwer και Lebesgue. Κατά την κατασκευή από τον Ρeano, μιας συνεχούς απεικόνισης από ένα τμήμα επί ενός τετραγώνου, προέκυψε το πρόβλημα: «το κατά πόσον ένα τμήμα και ένα τετράγωνο είναι ομοιόμορφα» και γενικότερα «εάν ο n- κύβος I^n είναι ομοιόμορφος με τον m-κύβο I^m για n διφορετικό του m». Το πρόβλημα αυτό λύθηκε από τον Brouwer [1911] αποδεικνύοντας ότι αν n διαφορετικό του m τότε οι I^n και I^m δεν είναι ομοιόμορφοι. Οι Urysohn [1922, 1925, 1926] και Menger [1923,1924] απέδειξαν με τις εργασίες τους, ότι η θεωρία διαστάσεων είναι μία ανεξάρτητη περιοχή της Γενικής Τοπολογίας. Αυτοί ανέπτυξαν και διατύπωσαν ανεξάρτητα τη θεωρία της μικρής επαγωγικής διάστασης ind για την κλάση των συμπαγών μετρικών χώρων. Αυτή η θεωρία αργότερα επεκτάθηκε για την κλάση των διαχωρίσιμων μετρικών χώρων από τους Tumarkin [1925, 1926] και Hurewicz [1927]. Σήμερα, οι διαστάσεις ορίζονται για οποιονδήποτε τοπολογικό χώρο. Σημειώνουμε ότι, στην κλάση των διαχωρίσιμων μετρικών χώρων, οι τρείς διαστάσεις συμπίπτουν. Δηλαδή: ind(X)=Ind(X)=dim(X), όπου X διαχωρίσιμος μετρικός χώρος. Σε μεγαλύτερη κλάση τοπολογικών χώρων αυτό δεν ισχύει, δηλαδή οι τρείς διαστάσεις διαφέρουν. Στην κλάση των μετρικών χώρων οι διαστάσεις Ind και dim συμπίπτουν. Δηλαδή, αν X μετρικός χώρος: Ind(X)=dim(X). Στην εργασία αυτή δίνουμε τον ορισμό της διάστασης κάλυψης dim, ισοδύναμες εκφράσεις των ορισμών των διαστάσεων και θεωρήματα υποχώρου – αθροίσματος και γινομένου, που αφορούν τη διάσταση αυτή.

Αρχείο Διπλωματικής Εργασίας

Συγγραφέας: Κατσίκης Αναστάσιος
Λέξεις Κλειδιά: Επιχειρησιακή έρευνα, Γραμμικός προγραμματισμός, Σίμπλεξ

Σύνοψη: Το πρώτο κεφάλαιο περιλαμβάνει μια ιστορική αναδρομή σχετικά με τη γέννηση και την ανάπτυξη της Επιχειρησιακής Έρευνας και του Γραμμικού Προγραμματισμού. Επίσης παρουσιάζεται το χρονικό των μεγαλυτέρων ανακαλύψεων: ο αλγόριθμος Simplex (Dantzig-1949), ο ελλειψοειδής αλγόριθμος (Khachian-1979) και ο αλγόριθμος εσωτερικών σημείων (Karmarkar-1983). Στη συνέχεια - δεύτερο κεφάλαιο - γίνεται η θεωρητική θεμελίωση της μεθόδου Simplex, συμπεριλαμβάνοντας τόσο την γεωμετρική-εποπτική παρουσίαση της μεθόδου, όσο και την αυστηρή αλγεβρική τεκμηρίωσή της μέσω θεωρημάτων. Το τρίτο κεφάλαιο αφιερώθηκε στον αλγόριθμο των ελλειψοειδών, στη μέθοδο δηλαδή που ουσιαστικά απέδειξε ότι τα προβλήματα του γραμμικού προγραμματισμού μπορούν να λυθούν σε πολυωνυμικό χρόνο. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η πιο σύγχρονη τάση στον τομέα επίλυσης προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού: οι μέθοδοι εσωτερικού σημείου. Συγκεκριμένα αναπτύσσεται ο αλγόριθμος του Karmakar, η κατηγορία των μεθόδων ομοπαραλληλικής αλλαγής κλίμακας και ο πρωτεύοντας-δυϊκός αλγόριθμος εσωτερικού σημείου. Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο περιλαμβάνεται η παρουσίαση της έννοιας της υπολογιστικής πολυπλοκότητας αλγορίθμων, η πλήρης ανάλυση της πολυπλοκότητας των αλγορίθμων Simplex και εσωτερικού σημείου του Karmakar, καθώς και η σύγκριση των δύο αλγορίθμων.

Αρχείο Διπλωματικής Εργασίας

Συγγραφέας: Ανδρεοπούλου Ευφροσύνη
Λέξεις Κλειδιά: Κυματίδια, Σχήμα ανόρθωσης, Πολυώνυμα Laurent

Σύνοψη: Στόχος της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη του σχήματος ανόρθωσης (lifting) που πρότεινε ο Sweldens για την αναπαράσταση διακριτών μετασχηματισμών κυματιδίων και ειδικότερα η παρουσίαση του μαθηματικού υπόβαθρου της μεθόδου που χρησιμοποιεί γινόμενα πινάκων με συντελεστές πολυώνυμα Laurent. Ο μετασχηματισμός κυματιδίου προσφέρει μια διαφορετική προσέγγιση στο πρόβλημα της αποδόμησης ενός διακριτού σήματος στο επίπεδο χρόνου-συχνότητας, καθώς είναι βασισμένος στην πολυεπίπεδη τεχνική πολλαπλής ανάλυσης σήματος, γι’ αυτό και αποτελεί ένα ιδιαίτερα εύχρηστο και εύκολα προσαρμόσιμο εργαλείο σε πολλές εφαρμογές. Παρουσιάζουμε ένα παράδειγμα ενός διακριτού σήματος στο οποίο εφαρμόζουμε τεχνικές πρόβλεψης και διόρθωσης των συστατικών του, κάνοντας μια πολυεπίπεδη ανάλυση που ονομάζεται ανάλυση πολλαπλής ευκρίνειας. Στα διάφορα στάδια αυτής της ανάλυσης ακολουθείται η μέθοδος ανόρθωσης (lifting) που αποτελείται από μια σειρά βημάτων πρόβλεψης και διόρθωσης των συστατικών του διακριτού σήματος. Με τη χρήση αυτής της μεθόδου μπορούμε να αναλύσουμε όλους τους μετασχηματισμούς κυματιδίων τους οποίους χρησιμοποιούμε για να αποδομήσουμε ένα διακριτό σήμα στα συστατικά του. Για την εφαρμογή του σχήματος ανόρθωσης χωρίζουμε το διακριτό σήμα στα άρτια και περιττά μέρη του και στη συνέχεια εφαρμόζουμε διαδοχικούς μετασχηματισμούς πρόβλεψης και διόρθωσης για τα δύο αυτά μέρη του σήματος. Στη συνέχεια αναπαριστούμε την παραπάνω ανάλυση μέσω του z-μετασχηματισμού με χρήση πολυωνύμων Laurent. Ο μετασχηματισμός ανάλυσης κυματιδίου, στον z-μετασχηματισμό, μετατρέπεται σε πολλαπλασιασμό πινάκων με στοιχεία πολυώνυμα Laurent. Η εφαρμογή των βημάτων της μεθόδου ανόρθωσης, ουσιαστικά, οδηγεί σε μια σταδιακή απλοποίηση των παραπάνω πολυωνύμων, η οποία γίνεται με τη χρήση του αλγορίθμου διαίρεσης πολυωνύμων. Παρουσιάζουμε και αναλύουμε τα θεωρήματα στα οποία στηρίζεται η μέθοδος και δίνουμε συγκεκριμένα παραδείγματα.

Αρχείο Διπλωματικής Εργασίας

Συγγραφέας: Προτσώνης Γρηγόρης
Λέξεις Κλειδιά: Επεκτάσεις Kan, Επιπεδότητα, Καθορισμένα συνόρια, Αλγεβρικές θεωρίες, Διατήρηση πεπερασμένων ορίων, Κατηγορική πραγματοποίηση

Σύνοψη: Mελετάμε το πρόβλημα της διατήρησης κάποιας κλάσης πεπερασμένων ορίων από την αριστερή επέκταση Kan ενός συναρτητή. Παρουσιάζουμε αρχικά την περίπτωση για συναρτητές που λαμβάνουν τιμές στην κατηγορία των συνόλων. Η περίπτωση αυτή έχει μελετηθεί στην βιβλιογραφια, και ο χαρακτηρισμός τέτοιων επεκτάσεων Kan έχει να κάνει με την έννοια της επιπεδότητας του συναρτητή. Παρατηρώντας ότι η έννοια της επιπεδότητας μπορεί να ερμηνευτεί (με όρους εσωτερικής λογικής) σε μία κατηγορία η οποία είναι εφοδιασμένη με μία τοπολογία Grothendieck, μελετάμε το πρόβλημα στην γενικότητά του. Καθοριστικό ρόλο στην μελέτη μας, παίζει η έννοια του καθορισμένου συνορίου. Με αυτά τα εργαλεία καταλήγουμε σε ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την διατήρηση πεπερασμένων γινομένων, πεπερασμένων συνεκτικών ορίων και όλων των πεπερασμένων ορίων από την αριστερή επέκταση Kan ενός συναρτητή που λαμβάνει τιμές σε μια κατηγορία η οποία είναι εφοδιασμένη με μία υποκανονική τοπολογία Grothendieck. Τέλος μελετάμε και την περίπτωση διατήρησης μονομορφισμών από αριστερές επεκτάσεις Kan μεταξύ αλγεβρικών κατηγοριών.

Αρχείο Διδακτορικής Διατριβής